Curvas paramétricas

 

Ecuaciones paramétricas

Las ecuaciones paramétricas posibilitan una gran variedad de curvas , algunos conocidas, tras extrañas, algunos complejas, otras sorprendentes por su simetría y belleza. Estas curvas se generan cuando las variables x y y se expresan en función de una tercera llamada parámetro. En gráficos 2D se usa el parámetro t y en gráficos 3D los parámetros U y V.
Si x y y se dan como funciones de una tercera variable t (llamada parámetro) mediante las ecuaciones x=(f)(t) , y =(g)(t) ( llamadas ecuaciones paramétricas) , entonces cada valor de t determina un punto (x,y) que se puede representar en un sistema de coordenadas.  Cando t varia, el punto (x,y) es igual (f(t),g(t)) varia y traza una curva c  llamada curva paramétricas .
Reciben este nombre aquellas ecuaciones en que las variables x y y, cada una separadamente, están expresadas en función de la misma tercera variable. Según esto, designado por la letra z la tercera variable comúnmente llamada variable paramétricas.

Es muy importante aclarar que cada dos ecuaciones paramétricas representan una curva perfectamente referida a  un sistema de ejes cartesianos.
Trazado de una curva dadas sus ecuaciones paramétricas.
En forma directa se le asignan valores ordenados al parámetro con lo cual las ecuaciones paramétricas determinan los valores correspondientes a (x,y) que representa las coordenadas de un punto de la curva. Uniendo los puntos así determinados resulta una curva, que es la representación gráfica de las ecuaciones paramétricas.

Curva

Una curva geométricamente hablando diremos que intuitivamente, es el conjunto de puntos que representa las distintas posiciones ocupadas por un punto que se mueve; si se usa el termino curva pro oposición de recta o línea poligonal, habría que excluir de esta noción los casos de, aquellas líneas que cambian continuamente de dirección, pero de forma suave, es decir, sin formar ángulos. Esto las distingue de las líneas rectas y quebradas. Estarían fuera de esta no con los casos de movimiento rectilíneo sin embargo, utilizando la definición matemática, una línea a es un caso particular de curva.

Es el caso límite de poligonal en que los saltos discretos de los segmentos son infinitesimales. También en este caso se dice curva plana, también llamada simple curvatura por el ángulo de contingencia, si se tiene todos sus puntos en el mismo plano; y curva alabeada, llamada de doble curvatura por dos ángulos el de contingencia y el de torsión, en caso de que todos esos puntos no estén en un plano.

A continuación se definirán las principales características de las curvas planas. La recta secante de una curva es la que une dos puntos de la curva separados una distancia finita. El orden de una curva es el número máximo de cortes con una secante. En la figura se muestra una figura de cuarto orden.

La recta tangente a una curva en un punto es el límite a que tiende la secante cuando los dos puntos de corte tienden a confundirse. De esta forma la tangente puede ser de primera especie cuando el punto de tangencia está quieto y el otro se aproxima al primero,  de segunda especie cuando los dos puntos se aproximan simultáneamente hacia el de tangencia.

La clase de una curva es el número máximo de tangentes que se pueden trazar desde su punto exterior. Por ejemplo, la circunferencia es una curva de clase dos.

La recta normal a una curva es la perpendicular a la tangente por el punto de tangencia. Según esta definición por un punto de la curva existieron infinitas normales. Para las curvas planas la más importante de estas normales es la coplanaria o la curva, que es la normal principal.

Hipocicloide

Es la curvatura que describe un punto fijo de una circunferencia que rueda, sin resbalar, permaneciendo siempre tangente interiormente a otra circunferencia fija.

Sean a el radio de la circunferencia fija de centro O, b el radio de la circunferencia menor, de centro O´   que rueda , permaneciendo siempre tangente a la circunferencia menor, M el punto fijo de la circunferencia menor que describe la hipocicloide, y t el punto de tangencia. En A  coinciden M y T, cuando M haya descrito la arcada AB; abra girado 360°, y el punto t habrá recorrido el arco AB ; ósea : arco AB= 2π*b .

Deltoide

Curva tipo hipocicloide concebida por  Euler en 1745 en conexión con el estado de las curvas causticas. Fue también investigada por Steiner en 1856 y a veces se le denomina hipocicloide de Steiner

Ecuación:

=a (2cos(t)+cos(2t)), y=a(2sin(t)-sin(2t))

Astroide

Las curvas tipo hipocicloide, incluyendo la astroide, fueron descubiertas por Roemer (1674) en su búsqueda de la forma óptima a los engranajes. Fue estudiada por Johann Bernoulli. La doble generación fue advertida en primer lugar por Daniel Bernoulli en 1725. En nombre de astroide apareció por primera vez en 1838 en un libro publicado en Viena; antes era conocida con distintos nombres como Cubocicloide, Paraciclo, Curbatetrascuspide.

TRANSFORMACION DE ECUACIONES PARAMÉTRICAS A RECTANGULARES.

Dada una curva en su forma paramétrica, su transformación a rectangular se obtiene con la eliminación de un parámetro. No hay un método general para efectuar la eliminación, depende, en cada caso, de la forma de las ecuaciones paramétricas.

Si éstas contienen funciones trigonométricas, la ecuación rectangular surge al eliminar el parámetro por medio de las identidades trigonométricas fundamentales

Si las ecuaciones paramétricas son algebraicas, su forma sugerirá alguna operación par eliminar el parámetro.

Si de dos ecuaciones paramétricas una es mas complicada que la otra, la ecuación rectangular puede obtenerse despejando el parámetro de la ecuación mas sencilla y sustituyendo su valor en la otra ecuación